آموزش رياضي : گزاره ها - 4
عکس گزاره شرطی :
گزاره ي شرطي « اگر q آنگاه p » را ، عکس گزاره ي شرطی « اگر p آنگاه q » میگوییم . به عبارت دیگر ، عکس یک گزاره شرطی ، گزارهای است شرطی ، که مقدم و تالی آن به ترتیب تالی و مقدم گزاره اولیه باشند . مثلاً عکس گزاره ي « اگر 1>2 آنگاه 2 < 3 » ، گزاره ي « اگر 2 < 3 آنگاه 1>2 » است ، که يك گزاره ي نادرست است . لذا مشاهده میشود كه ، اين امكان وجود دارد یک گزاره ي شرطی درست باشد ولی عکس آن گزاره نادرست باشد و بالعکس . مقايسه حالتهاي منطقي يك گزاره ي شرطي و عكس آن گزاره در جدول زير نمايش داده شده است .
|
q ═> p |
p ═> q |
q |
p |
|
T |
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
T |
|
F |
T |
T |
F |
|
T |
T |
F |
F |
عکس نقیض گزاره شرطی :
عکس نقیض یک گزاره ي شرطی ، گزارهای است شرطی که مقدم و تالی آن به ترتیب عبارتند از نقیض تالی و نقیض مقدم گزاره ي اولیه . به عبارت دیگر عکس نقیض گزاره ي شرطی « اگر q آنگاه p » ، گزاره ي شرطي «اگر q~ آنگاه p~ » میباشد . به عنوان مثال عکس نقیض گزاره ي شرطي « اگر x زوج است ، آنگاه 1+x فرد است » ، گزاره ي شرطي « اگر 1+x فرد نیست ، آنگاه x زوج نیست » مي باشد .
با کمی دقت مشاهده مي گردد که عکس نقیض یک گزاره شرطی همواره با خود آن گزاره هم ارز است . این نكته را میتوان در جدول ارزش زیر نمايش داد .
|
q ═> ~p~ |
p ═> q |
q~ |
p~ |
q |
p |
|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
|
F |
F |
T |
F |
F |
T |
|
T |
T |
F |
T |
T |
F |
|
T |
T |
T |
T |
F |
F |
همانگونه كه مشاهده مي گردد ، در تمام حالت هاي منطقي گزاره ي شرطي با عكس نقيض خود ، هم ارز مي باشد . از اين خاصيت مي توان در اثبات برخي از قضيه ها استفاده كرد ، به گونه اي كه به جاي اثبات برخي از قضيه هاي شرطي ، معادل آن يعني عكس نقيض آن قضيه را اثبات نمود .
شكل ديگر گزاره ي شرطي :
گفته شد كه يك گزاره شرطي به صورت p ═> q نمايش داده مي شود . حال قضيه ي زير شكل ديگر گزاره ي شرطي را نشان مي دهد :
قضيه : اثبات كنيد گزاره ي شرطي p ═> q با گزاره ي p V q ~ هم ارز است .
اثبات : براي اثبات قضيه ي فوق از جدول ارزش استفاده مي كنيم .
|
pVq~ |
p ═> q |
p~ |
q |
p |
|
T |
T |
F |
T |
T |
|
F |
F |
F |
F |
T |
|
T |
T |
T |
T |
F |
|
T |
T |
T |
F |
F |
با مقايسه دو گزاره در كليه حالتهاي منطقي مشاهده مي گردد كه : pVq ≡ p ═>q ~
به عنوان مثال از نظر منطق رياضي ، گزاره ي شرطي « اگر تلوزيون روشن است آنگاه برق جريان دارد » هم ارز گزاره ي « تلويزيون روشن نيست يا برق جريان دارد » مي باشد .
نقيض تركيب عطفي :
قضيه : ثابت كنيد نقيض تركيب عطفي دو گزاره هم ارز تركيب فصلي نقيض آن دو گزاره است ، به عبارت ديگر ثابت كنيد : pΛq ) ≡ ~p V ~q )~
اثبات : براي اثبات قضيه فوق از جدول ارزش استفاده مي كنيم :
|
p V ~q~ |
( pΛq )~ |
pΛq |
q~ |
p~ |
q |
p |
|
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
|
T |
T |
F |
T |
F |
F |
T |
|
T |
T |
F |
F |
T |
T |
F |
|
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
چون در تمامي حالت هاي منطقي دو گزاره داراي ارزش هاي يكسان هستند ، بنابراين دو گزاره ي فوق هم ارز مي باشند .
نقيض تركيب فصلي :
قضيه : ثابت كنيد نقيض تركيب فصلي دو گزاره ، هم ارز تركيب عطفي نقيض آن دو گزاره است ، به عبارت ديگر ثابت كنيد : pVq ) ≡ ~p Λ ~q )~
اثبات : براي اثبات قضيه فوق از جدول ارزش استفاده مي كنيم :
|
p Λ ~q~ |
( pVq )~ |
pVq |
q~ |
p~ |
q |
p |
|
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
|
F |
F |
T |
T |
F |
F |
T |
|
F |
F |
T |
F |
T |
T |
F |
|
T |
T |
F |
T |
T |
F |
F |
چون در تمامي حالت هاي منطقي دو گزاره داراي ارزش هاي يكسان هستند ، بنابراين دو گزاره ي فوق هم ارز مي باشند .
نقيض يك گزاره ي شرطي :
با توجه به قضایای قبل داريم ،
p ═> q ≡ ~p V q
( p ═> q ) ≡ ~ ( ~pVq ) ~ <═
p ═> q ) ≡ p Λ ~q ) ~ <═
به عنوان مثال نقيض گزاره ي شرطي « اگر تلوزيون روشن است آنگاه برق جريان دارد » ، هم ارز گزاره ي « تلويزيون روشن است و برق جريان ندارد » مي باشد .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
آخ که چقدر تایپ ریاضی تو باکس وبلاگ سخته
اجداد آدم رو با آدم رو برو می کنه
اگه از دوستان کسی متوجه اشتباه بودن علامتها شد کامنت بگذاره تا اصلاحش کنم
